如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于-优题课

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理二次函数在给定区间上的最值

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，顶点 $A$ ， $B$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，直线 $AC ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，连结 $OA$ ， $OC$ ，并延长 $OC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，当 $AB = 2 OA$ 时，点 $E$ 恰为 $AB$ 的中点，若 $∠ AOD = 45 °$ ， $OA = 2 \sqrt{2}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $∠ EOD$ 的度数．

放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．

如图，在正方形网格中， $ΔABC$ 的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中，作 $ΔABC$ 关于点 $O$ 对称的△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

（2）在图2中，作 $ΔABC$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△ $A B^{'} C^{'}$ ．

某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为　　；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．

先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{2}$ ．

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