（本小题满分8分）已知集合,．若，求实数的取值范围.-优题课

（本小题满分8分）
已知集合 , ．若，求实数的取值范围.

科目数学题型解答题难度容易

如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．

设 $a \in [- 2, 0]$ , 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} - (a + 5) x, & x \leq 0, \\ x^{3} - \frac{a + 3}{2} x^{2} + a x, & x > 0 . \end{cases}$  
(Ⅰ) 证明 $f (x)$ 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;
(Ⅱ) 设曲线 $y = f (x)$ 在点 $P_{i} (x_{i}, f (x_{i})) (i = 1, 2, 3)$ 处的切线相互平行, 且 $x_{1} x_{2} x_{3} \neq 0$ ,证明 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > - \frac{1}{3}$ .

已知首项为 $\frac{3}{2}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{+})$ , 且 $- 2 S_{2}, S_{3}, 4 S_{4}$ 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式;
(Ⅱ) 证明 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leq \frac{13}{6} (n \in N^{+})$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ , 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , 过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A, B$ 分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $C, D$ 两点. 若 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{D B} + \overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{C B} = 8$ , 求 $k$ 的值.

如图, 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ,且各棱长均相等. $D, E, F$ 分别为棱 $A B, B C, A_{1} C_{1}$ 的中点.

(Ⅰ) 证明 $E F / /$ 平面 $A_{1} C D$ ;
(Ⅱ) 证明平面 $A_{1} C D$ ⊥平面 $A_{1} A B B_{1}$ ;
(Ⅲ) 求直线 $B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值.

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