已知椭圆，过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.（1-优题课

题文

已知椭圆，过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（2）将表示为m的函数，并求的最大值.

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已知函数 $f (x) = a (1 - 2 |x - \frac{1}{2}|)$ , $a$ 为常数且 $a > 0$ .

（1）证明：函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ _，但 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 的二阶周期点，如果 $f (x)$ 有两个二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ，试确定 $a$ 的取值范围；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，和 $a$ ，设 $x_{3}$ 为函数 $f (f (x))$ 的最大值点， $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (x_{3}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，讨论 $S (a)$ 的单调性.

如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P$ $(1, \frac{3}{2})$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2） $A B$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$ ），设直线 $A B$ 与直线l相交于点 $M$ ，记 $P A, P B, P M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ .问：是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $B D$ 的中点， $G$ 为 $P D$ 的中点， $△ D A B$ ≌ $△ D C B$ ， $E A = E B = A B = 1, P A = \frac{3}{2}$ ，连接 $C E$ 并延长交 $A D$ 于 $F$ .

（1）求证： $A D ⊥$ 平面 $C F G$ ；
（2）求平面 $B C P$ 与平面 $D C P$ 的夹角的余弦值.

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1}$ ， $A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A, A_{8}$ （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ 。若 $X = 0$ 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率；
（2）求 $X$ 的分布列和数学期望.

正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： ${S_{n}}^{2} - (n^{2} + n - 1) S_{n} - (n^{2} + n) = 0$

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）令 $b_{n} = \frac{n + 1}{{(n + 2)}^{2} {a_{n}}^{2}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．证明：对于任意 $n \in N^{+}$ ，都有 $T_{n} < \frac{5}{64}$ .

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