先化简，再求值：，其中，．-优题课

如图，以 $ΔABC$ 的边 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 边于点 $M$ ，交 $BC$ 边于点 $N$ ，连接 $AN$ ，过点 $C$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ BCP = ∠ BAN$ ．

（1）求证： $ΔABC$ 为等腰三角形．

（2）求证： $AM \cdot CP = AN \cdot CB$ ．

在四边形 $ABCD$ 中，有下列条件：① $AB \overset{/ /}{=} CD$ ；② $AD \overset{/ /}{=} BC$ ；③ $AC = BD$ ；④ $AC ⊥ BD$ ．

（1）从中任选一个作为已知条件，能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的概率是　．

（2）从中任选两个作为已知条件，请用画树状图或列表的方法表示能判定四边形 $ABCD$ 是矩形的概率，并判断能判定四边形 $ABCD$ 是矩形和是菱形的概率是否相等？

如图， $AB$ 是某景区内高 $10 m$ 的观景台， $CD$ 是与 $AB$ 底部相平的一座雕像（含底座），在观景台顶 $A$ 处测得雕像顶 $C$ 点的仰角为 $30 °$ ，从观景台底部 $B$ 处向雕像方向水平前进 $6 m$ 到达点 $E$ ，在 $E$ 处测得雕像顶 $C$ 点的仰角为 $60 °$ ，已知雕像底座 $DF$ 高 $8 m$ ，求雕像 $CF$ 的高．（结果保留根号）

为打造平安校园，增强学生安全防范意识，某校组织了全校1200名学生参加校园安全网络知识竞赛．赛后随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行整理，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

成绩 $x /$ 分	频数	频率
$50 ⩽ x < 60$	10	$n$
$60 ⩽ x < 70$	20	0.10
$70 ⩽ x < 80$	30	0.15
$80 ⩽ x < 90$	$m$	0.40
$90 ⩽ x < 100$	60	0.30

请根据图表提供的信息，解答下列各题：

（1）表中 $m =$ 　　， $n =$ 　　，请补全频数分布直方图．

（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段 $80 ⩽ x < 90$ 对应扇形的圆心角的度数是　　 $°$ ．

（3）若成绩在80分以上（包括80分）为合格，则参加这次竞赛的1200名学生中成绩合格的大约有多少名？

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $B (3, 0)$ ，经过点 $A$ 的直线 $AC$ 与抛物线的另一交点为 $C (4, \frac{5}{2})$ ，与 $y$ 轴交点为 $D$ ，点 $P$ 是直线 $AC$ 下方的抛物线上的一个动点（不与点 $A$ ， $C$ 重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ ，垂足为点 $E$ ，作 $PF / / y$ 轴交直线 $AC$ 于点 $F$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段 $EF$ 的长度为 $m$ ，求 $m$ 与 $t$ 的函数关系式．

（3）点 $Q$ 在抛物线的对称轴上运动，当 $ΔOPQ$ 是以 $OP$ 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点 $P$ 的坐标．