某水果批发市场规定：批发苹果不少于1000千克时，可享受每千-优题课

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $AD$ 上，以 $C$ 为圆心， $AE$ 长为半径画弧，交边 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 、 $DF$ ．求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ．

已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，并且当 $x = 2$ 时， $y = 6$ ．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（2）当 $x = 4$ 时，求 $y$ 的值．

甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．

已知函数 $y = \{\begin{matrix} - x^{2} + nx + n, (x ⩾ n), \\ - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{n}{2} x + \frac{n}{2}, (x < n) \end{matrix} (n$ 为常数）

（1）当 $n = 5$ ，

①点 $P (4, b)$ 在此函数图象上，求 $b$ 的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段 $AB$ 的两个端点坐标分别为 $A (2, 2)$ 、 $B (4, 2)$ ，当此函数的图象与线段 $AB$ 只有一个交点时，直接写出 $n$ 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到 $x$ 轴的距离等于4，求 $n$ 的取值范围．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $BC = 15$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AC$ 向终点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CB$ 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点 $P$ 到达终点时， $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，过点 $P$ 作 $PN ⊥ AB$ 于点 $N$ ，连结 $PQ$ ，以 $PN$ 、 $PQ$ 为邻边作 $▱ PQMN$ ．设 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）① $AB$ 的长为　　；

② $PN$ 的长用含 $t$ 的代数式表示为　　．

（2）当 $▱ PQMN$ 为矩形时，求 $t$ 的值；

（3）当 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形为四边形时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当过点 $P$ 且平行于 $BC$ 的直线经过 $▱ PQMN$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．