如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB90°，B-优题课

如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为 .

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

某校在以“青春心向党，建功新时代”为主题的校园文化艺术节期间，举办了 $A$ 合唱， $B$ 群舞， $C$ 书法， $D$ 演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“ $D$ ”部分的圆心角度数是多少？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？

如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点， $ΔABC$ 的三个顶点均在格点上．

（1）将 $ΔABC$ 先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 $A$ 的坐标为 $(- 4, 3)$ ；

（3）在（2）的条件下，直接写出点 $A_{1}$ 的坐标．

已知： $ΔABC$ 是等腰直角三角形， $∠ BAC = 90 °$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $C$ 顺时针方向旋转得到△ $A' B' C$ ，记旋转角为 $α$ ，当 $90 ° < α < 180 °$ 时，作 $A' D ⊥ AC$ ，垂足为 $D$ ， $A' D$ 与 $B' C$ 交于点 $E$ ．

（1）如图1，当 $∠ CA' D = 15 °$ 时，作 $∠ A' EC$ 的平分线 $EF$ 交 $BC$ 于点 $F$ ．

①写出旋转角 $α$ 的度数；

②求证： $EA' + EC = EF$ ；

（2）如图2，在（1）的条件下，设 $P$ 是直线 $A' D$ 上的一个动点，连接 $PA$ ， $PF$ ，若 $AB = \sqrt{2}$ ，求线段 $PA + PF$ 的最小值．（结果保留根号）

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点为 $A (4, 3)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B (0, - 5)$ ，对称轴为直线 $l$ ，点 $M$ 是线段 $AB$ 的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点 $M$ 的坐标并求直线 $AB$ 的表达式；

（3）设动点 $P$ ， $Q$ 分别在抛物线和对称轴 $l$ 上，当以 $A$ ， $P$ ， $Q$ ， $M$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $P$ ， $Q$ 两点的坐标．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，以 $BC$ 边为直径作半圆 $O$ ， $OE ⊥ OA$ 交 $CD$ 边于点 $E$ ，对角线 $AC$ 与半圆 $O$ 的另一个交点为 $P$ ，连接 $AE$ ．

（1）求证： $AE$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）若 $PA = 2$ ， $PC = 4$ ，求 $AE$ 的长．