（本题10分）如图，东站枢纽建设要新建一条从M地到N地的公路-优题课

（本题10分）如图，东站枢纽建设要新建一条从M地到N地的公路，测得N点位于M点的南偏东30º，A点位于M点的南偏东60º，以A点为中心，半径为400米的圆形区域为文物保护区，又在B点测得BA的方向为南偏东75º，量得MB=400米，请计算后回答公路是否会穿越文物保护区？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 $O$ 出发，按向上、向右、向下、向右方向依次不断移动，每次移动 $1$ 个单位，其行走路线如图所示.

（1）填写下列各点的坐标：

$A_{4}$ （）， $A_{8}$ （）， $A_{12}$ （）

（2）写出点 $A_{4 n}$ 的坐标（ $n$ 是正整数）；

（3）指出蚂蚁从点 $A_{2016}$ 到点 $A_{2017}$ 的移动方向.

如图所示， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是由 $△ ABC$ 平移后得到的，已知 $△ ABC$ 中任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 经平移后对应点为 $P_{1} (x_{0} - 6 ， y_{0} - 2)$ .

（1）已知 $A (2 ， 6) ， B (1 ， 3) ， C (5 ， 3) ， Q (3 ， 5)$ ，请写出 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1} ， Q_{1}$ 的坐标

（2）试说明 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是如何由 $△ ABC$ 得到的?

（3）连接 $A_{1} A ， C_{1} C$ ，求出五边形 $A_{1} B_{1} C_{1} CA$ 的面积.

已知 $\sqrt{a^{2} + 2005}$ 是整数，求所有满足条件的正整数 $a$ 的和.

已知 $a ， b ， c$ 为正整数，且 $\frac{\sqrt{3} a + b}{\sqrt{3} b + c}$ 为有理数，证明： $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a + b + c}$ 为整数.

若有理数 $x ， y ， z$ 满足 $\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = \frac{1}{2} (x + y + z)$ ，试确定 ${(x - y z)}^{3}$ 的值.