（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点 ．
（1）求二面角B1MNB的正切值；
（2）求证：PB⊥平面MNB1；
（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离 ．
（本小题满分12分）某工厂有甲、乙两个车间，每个车间各有编号为1、2、3、4、5的5名技工．在某天内每名技工加工的合格零件的个数如下表：
| 1号 |
2号 |
3号 |
4号 |
5号 |
|
| 甲车间 |
4 |
5 |
7 |
9 |
10 |
| 乙车间 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
（Ⅰ）分别求出甲、乙两个车间技工在该天内所加工的合格零件的平均数及方差，并由此比较两个车间技工的技术水平；
（Ⅱ）质检部门从甲、乙两个车间中各随机抽取
名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和不小于12个，则称该工厂“质量合格”，求该工厂“质量合格”的概率．
（本小题满分12分）已知
满足
.
（Ⅰ）将
表示为
的函数
，并求出
的单调递增区间；
（Ⅱ）已知
的三个内角
、
、
的对边分别为
、
、
，若
，且
，求的面积的最大值．
（本小题14分）已知函数
.
（1）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；
（2）若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设
，对任意给定的正实数，曲线
上是否存在两点
、
，使得
是以
（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？请说明理由。
（本小题13分）已知离心率为
的椭圆
经过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过左焦点
且不与
轴垂直的直线
交椭圆于
、
两点，若
（
为坐标原点），求直线的方程．
（本小题12分）已知函数
．
(1)证明函数
的图像关于点
对称;
（2）若
，求
；
（3）在（2）的条件下，若
，
为数列
的前
项和，若
对一切
都成立，试求实数
的取值范围．