如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，那么∠A＝∠F，为什么？-优题课

为了丰富校园文化，某学校决定举行学生趣味运动会，将比赛项目确定为袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛五种，为了解学生对这五项运动的喜欢情况，随机调查了该校 $a$ 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五项中的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图表：

学生最喜欢的活动项目的人数统计表

项目	学生数（名 $)$	百分比 $(%)$
袋鼠跳	45	15
夹球跑	30	$c$
跳大绳	75	25
绑腿跑	$b$	20
拔河赛	90	30

根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1） $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　．

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）根据调查结果，请你估计该校3000名学生中有多少名学生最喜欢绑腿跑；

（4）根据调查结果，某班决定从这五项（袋鼠跳、夹球跑、跳大绳、绑腿跑和拔河赛可分别记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E)$ 中任选其中两项进行训练，用画树状图或列表的方法求恰好选到学生喜欢程度最高的两项的概率．

定义：点 $P$ 是 $ΔABC$ 内部或边上的点（顶点除外），在 $ΔPAB$ ， $ΔPBC$ ， $ΔPCA$ 中，若至少有一个三角形与 $ΔABC$ 相似，则称点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

例如：如图1，点 $P$ 在 $ΔABC$ 的内部， $∠ PBC = ∠ A$ ， $∠ BCP = ∠ ABC$ ，则 $ΔBCP ∽ ΔABC$ ，故点 $P$ 是 $ΔABC$ 的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 是曲线 $y = \frac{3 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上的任意一点，点 $N$ 是 $x$ 轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$ 是 $OM$ 上一点， $∠ ONP = ∠ M$ ，试说明点 $P$ 是 $ΔMON$ 的自相似点；当点 $M$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $3)$ ，点 $N$ 的坐标是 $(\sqrt{3}$ ， $0)$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（2）如图3，当点 $M$ 的坐标是 $(3, \sqrt{3})$ ，点 $N$ 的坐标是 $(2, 0)$ 时，求 $ΔMON$ 的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$ 和点 $N$ ，使 $ΔMON$ 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数 $y = m x^{2} - (2 m - 5) x + m - 2$ 的图象与 $x$ 轴有两个公共点．

（1）求 $m$ 的取值范围，并写出当 $m$ 取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_{1}$ ．

①当 $n ⩽ x ⩽ - 1$ 时， $y$ 的取值范围是 $1 ⩽ y ⩽ - 3 n$ ，求 $n$ 的值；

②函数 $C_{2} : y = m {(x - h)}^{2} + k$ 的图象由函数 $C_{1}$ 的图象平移得到，其顶点 $P$ 落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$ 的圆内或圆上．设函数 $C_{1}$ 的图象顶点为 $M$ ，求点 $P$ 与点 $M$ 距离最大时函数 $C_{2}$ 的解析式．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ ， $MN$ ．请你观察图1，猜想 $∠ MBN$ 的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $BMN$ 剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $MN$ 与 $BM$ 的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 12$ ，弦 $AC = 10$ ， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $AE$ 的长．