已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合-优题课

已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和．试说明四边形是菱形.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图，某水渠的横断面是以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ，其中水面截线 $M N ∥ A B$ ．嘉琪在 $A$ 处测得垂直站立于 $B$ 处的爸爸头顶 $C$ 的仰角为 $14 °$ ，点 $M$ 的俯角为 $7 °$ ．已知爸爸的身高为 $1.7 m$ ．

（1）求 $∠ C$ 的大小及 $A B$ 的长；

（2）请在图中画出线段 $D H$ ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．

（参考数据： $\tan 76 °$ 取 $4$ ， $\sqrt{17}$ 取 $4.1$ ）

如图，点 $P （ a ， 3 ）$ 在抛物线 $C ： y ＝ 4 ﹣ （ 6 ﹣ x ）^{2}$ 上，且在 $C$ 的对称轴右侧．

（1）写出 $C$ 的对称轴和 $y$ 的最大值，并求 $a$ 的值；

（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 $P$ 及 $C$ 的一段，分别记为 $P' ， C'$ ．平移该胶片，使 $C'$ 所在抛物线对应的函数恰为 $y ＝ ﹣ x^{2} + 6 x ﹣ 9$ ．求点 $P'$ 移动的最短路程．

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

验证如， $（ 2 + 1 ）^{2} + （ 2 ﹣ 1 ）^{2} ＝ 10$ 为偶数．请把 $10$ 的一半表示为两个正整数的平方和；

探究设“发现”中的两个已知正整数为 $m ， n$ ，请论证“发现”中的结论正确．

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为 $10$ 分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

整式 $3 （ \frac{1}{3} - m ）$ 的值为 $P$ ．

（1）当 $m ＝ 2$ 时，求 $P$ 的值；

（2）若 $P$ 的取值范围如图所示，求 $m$ 的负整数值．