已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比-优题课

已知：如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $∠ BOC = 120 °$ ， $AB = 2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $OE ⊥ AD$ 于点 $E$ ，连结 $BE$ ．记 $∠ ABE = α$ ，求 $\tan α$ 的值．

已知 $x = \frac{1}{6}$ ，求 ${(3 x - 1)}^{2} + (1 + 3 x) (1 - 3 x)$ 的值．

计算： ${(- 1)}^{2021} + \sqrt{8} - 4 \sin 45 ° + | - 2 |$ ．

小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α ⩽ 90 °)$ ，得到矩形 $AB' C' D'$ ，连结 $BD$ ．

$[$ 探究 $1]$ 如图1，当 $α = 90 °$ 时，点 $C'$ 恰好在 $DB$ 延长线上．若 $AB = 1$ ，求 $BC$ 的长．

$[$ 探究 $2]$ 如图2，连结 $AC'$ ，过点 $D'$ 作 $D' M / / AC'$ 交 $BD$ 于点 $M$ ．线段 $D' M$ 与 $DM$ 相等吗？请说明理由．

$[$ 探究 $3]$ 在探究2的条件下，射线 $DB$ 分别交 $AD'$ ， $AC'$ 于点 $P$ ， $N$ （如图 $3)$ ，发现线段 $DN$ ， $MN$ ， $PN$ 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

已知二次函数 $y = - x^{2} + 6 x - 5$ ．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当 $1 ⩽ x ⩽ 4$ 时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当 $t ⩽ x ⩽ t + 3$ 时，函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m - n = 3$ ，求 $t$ 的值．