(本小题满分12分)(1)计算:
(2)化简:
如图,在长方体中,
,且
.
(I)求证:对任意,总有
;
(II)若,求二面角
的余弦值;
(III)是否存在,使得
在平面
上的射影平分
?若存在, 求出
的值, 若不存在,说明理由.
(本小题满分10分)已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆C的离心率为
,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,
求的取值范围.
(本小题满分10分)河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5时,水面宽为8
,一小船宽4
,高2
,载货后船露出水面上的部分高
,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船恰好能通行。
(本小题满分10分)已知一动圆与圆外切,同时与圆
内切,求动圆圆心
的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(本小题满分10分)已知双曲线的两条渐近线均和圆
相切,且双曲线的右焦点为圆
的圆心,求该双曲线的方程。