已知集合在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标满足。（1）请列出-优题课

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题文

已知集合在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标满足。
（1）请列出点的所有坐标；
（2）求点不在轴上的概率；
（3）求点正好落在区域上的概率。

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已知 $f (x) = |a x + 1| (a \in R)$ ，不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ .

(Ⅰ)求 $a$ 的值；
(Ⅱ)若 $|f (x) - 2 f (\frac{x}{2})| \leq k$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

在直角坐标 $x O y$ 中,圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ ,圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ .
(Ⅰ)在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程,并求出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出 $C_{1} 与 C_{2}$ 的公共弦的参数方程.

如图， $⊙ O$ 和 $⊙ O `$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $A$ 作两圆的切线分别交两圆于 $C, D$ 两点，连接 $D B$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ .证明

(Ⅰ) $A C \cdot B D = A D \cdot A B$ ；
(Ⅱ) $A C = A E$ .

设 $f (x) = \ln (x + 1) + \sqrt{x + 1} + a x + b (a, b \in R, a, b 为常数)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = \frac{3}{2} x$ 在 $(0, 0)$ 点相切.
(Ⅰ)求 $a, b$ 的值。
(Ⅱ)证明：当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) < \frac{9 x}{x + 6}$ .

如图，椭圆 $C_{0} :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ , $a, b$ 为常数)，动圆 $C_{1} :$ $x^{2} + y^{2} = {t_{1}}^{2}$ ， $b < t_{1} < a$ .点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{0}$ 的左，右顶点， $C_{1}$ 与 $C_{0}$ 相交于 $A, B, C, D$ 四点.

（1）求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程;
（2）设动圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = {t_{2}}^{2}$ 与相交于 $A `, B `, C `, D `$ 四点，其中 $b < t_{2} < a$ ， $t_{1} \neq t_{2}$ 。若矩形 $A B C D$ 与矩形 $A ` B ` C ` D `$ 的面积相等，证明： ${t_{1}}^{2} + {t_{2}}^{2}$ 为定值.

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