(12分)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” :
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数;
②在函数的定义域内存在区间
,使得函数在区间
上的值域为
.
⑴已知幂函数
的图像经过点
,判断
是否是和谐函数?
⑵判断函数
是否是和谐函数?
⑶若函数
是和谐函数,求实数
的取值范围.
（本小题共12分）设函数f（x）=sinxcos（x+
）+
，x∈R．
（1）设
，
求
的值．．
（2）△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，
，求△ABC的面积．
（本小题满分13分）已知
为常数
，在
处的切线方程为
．
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）若任意实数
，使得对任意的
上恒有
成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）求证：对任意正整数
，有
．
（本小题满分13分）已知双曲线
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率
虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线
与双曲线相交于
，
两点（
均异于左、右顶点），且以
为直径的圆过双曲线的左顶点
，求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标．
（本小题满分13分）已知无穷数列
的各项均为正整数，
为数列的前
项和．
（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有
成立，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，从集合
中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与
一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）求数列的通项公式．
（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度（单位：
）随时间
（单位：小时）的变化近似满足函数关系：
，
且早上8时的温度为
，
．
（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（Ⅱ）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过
时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？