一学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E-优题课

题文

一学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为。
⑴求该生被录取的概率；
⑵记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望。

科目数学题型解答题难度容易

知识点：随机思想的发展

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如图，椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$ 、 $A `$ 两点， $|A A `| = 4$ ．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$ 、 $P `$ ，过 $P$ 、 $P `$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外．若 $P Q ⊥ P ` Q$ ，求圆 $Q$ 的标准方程．

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + \sqrt{2} a b = c^{2}$ ．
（1）求 $C$ ；
（2）设 $\cos A \cos B = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ ， $\frac{\cos (α + A) \cos (α + B)}{\cos^{2} α} = \frac{\sqrt{2}}{5}$ ，求 $\tan α$ 的值．

如图，四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D$ ， $B C = C D = 2$ ， $A C = 4$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ， $F$ 为 $P C$ 的中点， $A F ⊥ P B$ ．
（1）求 $P A$ 的长；
（2）求二面角 $B - A F - D$ 的正弦值．

某商场举行的"三色球"购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级	摸出红、蓝球个数	获奖金额
一等奖	3红1蓝	200元
二等奖	3红0蓝	50元
三等奖	2红1蓝	10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 $x$ 的分布列与期望 $E (x)$ ．

设 $f (x) = a (x - 5)^{2} + 6 \ln x$ ,其中 $a \in R$ ,曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, 6)$ ．
(1)确定 $a$ 的值；
(2)求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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