(7分)如图，在平面直角坐标中，以点M为圆心，以长为半经作圆-优题课

【感知】如图①，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ，点 $E$ 在边 $CD$ 上， $∠ AEB = 90 °$ ，求证： $\frac{AE}{EB} = \frac{DE}{CB}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ C = ∠ ADC = 90 °$ ，点 $E$ 在边 $CD$ 上，点 $F$ 在边 $AD$ 的延长线上， $∠ FEG = ∠ AEB = 90 °$ ，且 $\frac{EF}{EG} = \frac{AE}{EB}$ ，连接 $BG$ 交 $CD$ 于点 $H$ ．

求证： $BH = GH$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $ABCD$ 内， $∠ AEB$ 十 $∠ DEC = 180 °$ ，且 $\frac{AE}{EB} = \frac{DE}{EC}$ ，过 $E$ 作 $EF$ 交 $AD$ 于点 $F$ ，若 $∠ EFA = ∠ AEB$ ，延长 $FE$ 交 $BC$ 于点 $G$ ．求证： $BG = CG$ ．

某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价 $x$ （元 $/$ 千克）	55	60	65	70
销售量 $y$ （千克）	70	60	50	40

（1）求 $y$ （千克）与 $x$ （元 $/$ 千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是边 $BC$ 上一点，以 $BD$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $A$ ，且 $∠ CAD = ∠ ABC$ ．

（1）请判断直线 $AC$ 是否是 $⊙ O$ 的切线，并说明理由；

（2）若 $CD = 2$ ， $CA = 4$ ，求弦 $AB$ 的长．

如图，在一笔直的海岸线上有 $A$ ， $B$ 两个观测站， $A$ 在 $B$ 的正西方向， $AB = 2 km$ ，从观测站 $A$ 测得船 $C$ 在北偏东 $45 °$ 的方向，从观测站 $B$ 测得船 $C$ 在北偏西 $30 °$ 的方向．求船 $C$ 离观测站 $A$ 的距离．

将4张印有"梅""兰""竹""菊"字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有"兰"字的卡片的概率为　　．

（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有"兰"字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．