新华书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100元，不享受优-优题课

新华书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100 元，不享受优惠；一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；一次性购书200元以上一律打八折．
（1）如果小明一次性购书的原价为250元，那么他实际付款_________元；
（2）如果小华同学一次性购书付款162元，那么小华所购书的原价为多少元？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：多元一次方程组

如图，四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $AD$ 、 $BC$ 上， $AE = CF$ ，过点 $A$ 、 $C$ 分别作 $EF$ 的垂线，垂足为 $G$ 、 $H$ ．

（1）求证： $ΔAGE ≅ ΔCHF$ ；

（2）连接 $AC$ ，线段 $GH$ 与 $AC$ 是否互相平分？请说明理由．

如图，已知等边 $ΔABC$ 的边长为8，点 $P$ 是 $AB$ 边上的一个动点（与点 $A$ 、 $B$ 不重合）．直线 $l$ 是经过点 $P$ 的一条直线，把 $ΔABC$ 沿直线 $l$ 折叠，点 $B$ 的对应点是点 $B'$ ．

（1）如图1，当 $PB = 4$ 时，若点 $B'$ 恰好在 $AC$ 边上，则 $AB'$ 的长度为　　；

（2）如图2，当 $PB = 5$ 时，若直线 $l / / AC$ ，则 $BB'$ 的长度为　　；

（3）如图3，点 $P$ 在 $AB$ 边上运动过程中，若直线 $l$ 始终垂直于 $AC$ ， $ΔACB'$ 的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

（4）当 $PB = 6$ 时，在直线 $l$ 变化过程中，求 $ΔACB'$ 面积的最大值．

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形， $AB = 20$ ， $BC = 10$ ，以 $CD$ 为一边向矩形外部作等腰直角 $ΔGDC$ ， $∠ G = 90 °$ ．点 $M$ 在线段 $AB$ 上，且 $AM = a$ ，点 $P$ 沿折线 $AD - DG$ 运动，点 $Q$ 沿折线 $BC - CG$ 运动（与点 $G$ 不重合），在运动过程中始终保持线段 $PQ / / AB$ ．设 $PQ$ 与 $AB$ 之间的距离为 $x$ ．

（1）若 $a = 12$ ．

①如图1，当点 $P$ 在线段 $AD$ 上时，若四边形 $AMQP$ 的面积为48，则 $x$ 的值为　　；

②在运动过程中，求四边形 $AMQP$ 的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$ 在线段 $DG$ 上时，要使四边形 $AMQP$ 的面积始终不小于50，求 $a$ 的取值范围．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE$ 平分 $∠ DAB$ ，已知 $CE = 6$ ， $BE = 8$ ， $DE = 10$ ．

（1）求证： $∠ BEC = 90 °$ ；

（2）求 $\cos ∠ DAE$ ．

只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”．如 $20 = 3 + 17$ ．

（1）若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是　　；

（2）从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，再用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．