如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$，以 $\mathit{CD}$为一边向矩形外部作等腰直角 $\mathit{\Delta GDC}$， $\angle G=90°$．点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{AM}=a$，点 $P$沿折线 $\mathit{AD}-\mathit{DG}$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CG}$运动（与点 $G$不重合），在运动过程中始终保持线段 $\mathit{PQ}//\mathit{AB}$．设 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AB}$之间的距离为 $x$．

（1）若 $a=12$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上时，若四边形 $\mathit{AMQP}$的面积为48，则 $x$的值为　    　；

②在运动过程中，求四边形 $\mathit{AMQP}$的最大面积；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{DG}$上时，要使四边形 $\mathit{AMQP}$的面积始终不小于50，求 $a$的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 矩形的性质 二次函数的应用