如图1，在ΔABC中，ABAC，N是BC边上的一点，D为AN-优题课

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题文

如图1，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $N$ 是 $BC$ 边上的一点， $D$ 为 $AN$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $CD$ 的延长线于 $T$ ，且 $AT = BN$ ，连接 $BT$ ．

（1）求证： $BN = CN$ ；

（2）在图1中 $AN$ 上取一点 $O$ ，使 $AO = OC$ ，作 $N$ 关于边 $AC$ 的对称点 $M$ ，连接 $MT$ 、 $MO$ 、 $OC$ 、 $OT$ 、 $CM$ 得图2．

①求证： $ΔTOM ∽ ΔAOC$ ；

②设 $TM$ 与 $AC$ 相交于点 $P$ ，求证： $PD / / CM$ ， $PD = \frac{1}{2} CM$ ．

科目数学题型解答题难度困难

知识点：平行四边形的判定与性质相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质

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（本题9分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．

（1）求证：∠BQM=60⁰．
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？
请你对上面三个问题作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

（本题8分）（1）如图1，Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，若BD>CE，试问：BD=DE+CE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，等腰△ABC中，AB=AC，若顶点A在直线m上，点D、E也在直线m 上，如果∠BAC=∠ADB=∠AEC=110⁰，那么（1）中结论还成立吗？如果不成立，BD、DE、CE三条线段之间有怎样的关系？并说明理由．

（本题5分）如图，有一块长为6.5单位长度，宽为2单位长度的长方形纸片，请把它分成6块，再拼成一个正方形，先在图中画出分割线，再画出拼后的图形，并标出相应的数据．

（本题7分）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．

（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形．（用序号数写出所有情况）
（2）选择（1）中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

（本题6分）如图，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求BD的长和四边形ABCD的面积．

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