解方程：2-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD = BC$ ， $AC = BD$ ， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$ ．求证： $∠ DAC = ∠ CBD$ ．

计算： ${(- 3)}^{2} + \frac{\tan 45 °}{2} + {(\sqrt{2} - 1)}^{0} - 2^{- 1} + \frac{2}{3} \times (- 6)$ ．

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + 3 (a \neq 0)$ ．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）把抛物线沿 $y$ 轴向下平移 $3 | a |$ 个单位，若抛物线的顶点落在 $x$ 轴上，求 $a$ 的值；

（3）设点 $P (a, y_{1})$ ， $Q (2, y_{2})$ 在抛物线上，若 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

如图， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ ， $BD$ 是 $⊙ O$ 的弦， $M$ 为 $BC$ 的中点， $OM$ 与 $BD$ 交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ ，交 $BC$ 的延长线于点 $E$ ，且 $CD$ 平分 $∠ ACE$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $∠ CDE = ∠ DBE$ ；

（3）若 $DE = 6$ ， $\tan ∠ CDE = \frac{2}{3}$ ，求 $BF$ 的长．

如图，一次函数 $y = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A (2, 3)$ ， $B (n, - 1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P (- 2, 1)$ 是否在一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1} x + b ⩾ \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．