某产品在一个生产周期内的总产量为100t,平均分成若干批生产。设每批生产需要投入固定费用75元,而每批生产直接消耗的费用与产品数量x的平方成正比,已知每批生产10t时,直接消耗的费用为300元(不包括固定的费用)。
(1)若每批产品数量为20t,求此产品在一个生产周期的总费用(固定费用和直接消耗的费用)。
(2)设每批产品数量为xt,一个生产周期内的总费用y元,求y与x的函数关系式,并求
出y的最小值。
命题p:函数有零点;
命题q:函数是增函数,
若命题是真命题,求实数
的取值范围.
已知,函数
,
.(
的图象连续不断)
(1) 求的单调区间;
(2) 当时,证明:存在
,使
;
(3) 若存在属于区间的
,且
,使
,证明:
.
已知动点到点
的距离与到直线
的距离之比为定值
,记
的轨迹为
.
(1)求的方程,并画出
的简图;
(2)点是圆
上第一象限内的任意一点,过
作圆的切线交轨迹
于
,
两点.
(i)证明:;
(ii)求的最大值.
对数列,规定
为数列
的一阶差分数列,其中
, 对自然数
,规定
为
的
阶差分数列,其中
.
(1)已知数列的通项公式
,试判断
,
是否为等差或等比数列,为什么?
(2)若数列首项
,且满足
,求数列
的通项公式。
(3)对(2)中数列,是否存在等差数列
,使得
对一切自然
都成立?若存在,求数列
的通项公式;若不存在,则请说明理由。