如图，已知线段AB＝9cm，点C是AB的中点，点D在直线AB-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $a + b$ 的最小值；

（2）已知点 $P_{1} (- 2, 1)$ ， $P_{2} (2, - 1)$ ， $P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l : y = kx + 1$ 与抛物线交于 $M$ ， $N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ MAN = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B$ ， $C$ ．求证： $ΔMAB$ 与 $ΔMBC$ 的面积相等．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 为边 $AB$ 上的两个三等分点，点 $A$ 关于 $DE$ 的对称点为 $A'$ ， $AA'$ 的延长线交 $BC$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $DE / / A' F$ ；

（2）求 $∠ GA' B$ 的大小；

（3）求证： $A' C = 2 A' B$ ．

"田忌赛马"的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，田忌也有上、中、下三匹马 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下： $A_{1} > A_{2} > B_{1} > B_{2} > C_{1} > C_{2}$ （注 $: A > B$ 表示 $A$ 马与 $B$ 马比赛， $A$ 马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的"出马"顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵 $(C_{2} A_{1}$ ， $A_{2} B_{1}$ ， $B_{2} C_{1})$ 获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．

假设齐王事先不打探田忌的"出马"情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出"上马"，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的"出马"情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．

如图，已知线段 $MN = a$ ， $AR ⊥ AK$ ，垂足为 $A$ ．

（1）求作四边形 $ABCD$ ，使得点 $B$ ， $D$ 分别在射线 $AK$ ， $AR$ 上，且 $AB = BC = a$ ， $∠ ABC = 60 °$ ， $CD / / AB$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $P$ ， $Q$ 分别为（1）中四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ ， $CD$ 的中点，求证：直线 $AD$ ， $BC$ ， $PQ$ 相交于同一点．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ．线段 $EF$ 是由线段 $AB$ 平移得到的，点 $F$ 在边 $BC$ 上， $ΔEFD$ 是以 $EF$ 为斜边的等腰直角三角形，且点 $D$ 恰好在 $AC$ 的延长线上．

（1）求证： $∠ ADE = ∠ DFC$ ；

（2）求证： $CD = BF$ ．