解方程：1-优题课

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 1, m)$ 、 $B (n, - 1)$ 两点．

（1）求一次函数表达式；

（2）求 $ΔAOB$ 的面积．

先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{a - 1}) \div \frac{2 a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = - 2$ ．

计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - {(π - 1)}^{0} + | 1 - \sqrt{3} |$ ．

如图①，抛物线 $y = - x^{2} + (a + 1) x - a$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知 $ΔABC$ 的面积是6．

（1）求 $a$ 的值；

（2）求 $ΔABC$ 外接圆圆心的坐标；

（3）如图②， $P$ 是抛物线上一点， $Q$ 为射线 $CA$ 上一点，且 $P$ 、 $Q$ 两点均在第三象限内， $Q$ 、 $A$ 是位于直线 $BP$ 同侧的不同两点，若点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ， $ΔQPB$ 的面积为 $2 d$ ，且 $∠ PAQ = ∠ AQB$ ，求点 $Q$ 的坐标．

已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 5 cm$ ，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上的一点，且 $AP = 2 \sqrt{5} cm$ ．如图①，动点 $M$ 从点 $A$ 出发，在矩形边上沿着 $A \to B \to C$ 的方向匀速运动（不包含点 $C$ ）.设动点 $M$ 的运动时间为 $t (s)$ ， $ΔAPM$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ， $S$ 与 $t$ 的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点 $M$ 的运动速度为　　 $cm / s$ ， $BC$ 的长度为　　 $cm$ ；

（2）如图③，动点 $M$ 重新从点 $A$ 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点 $N$ 从点 $D$ 出发，在矩形边上沿着 $D \to C \to B$ 的方向匀速运动，设动点 $N$ 的运动速度为 $v (cm / s)$ ．已知两动点 $M$ ， $N$ 经过时间 $x (s)$ 在线段 $BC$ 上相遇（不包含点 $C$ ），动点 $M$ ， $N$ 相遇后立即同时停止运动，记此时 $ΔAPM$ 与 $ΔDPN$ 的面积分别为 $S_{1} (c m^{2})$ ， $S_{2} (c m^{2})$

①求动点 $N$ 运动速度 $v (cm / s)$ 的取值范围；

②试探究 $S_{1} \cdot S_{2}$ 是否存在最大值，若存在，求出 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最大值并确定运动时间 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．