已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$，点 $P$为对角线 $\mathit{AC}$上的一点，且 $\mathit{AP}=2\sqrt{5}\mathit{cm}$．如图①，动点 $M$从点 $A$出发，在矩形边上沿着 $A\to B\to C$的方向匀速运动（不包含点 $C$）.设动点 $M$的运动时间为 $t\left(s\right)$， $\mathit{\Delta APM}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$， $S$与 $t$的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点 $M$的运动速度为　    　 $\mathit{cm}/s$， $\mathit{BC}$的长度为　 　 $\mathit{cm}$；

（2）如图③，动点 $M$重新从点 $A$出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点 $N$从点 $D$出发，在矩形边上沿着 $D\to C\to B$的方向匀速运动，设动点 $N$的运动速度为 $v(\mathit{cm}/s)$．已知两动点 $M$， $N$经过时间 $x\left(s\right)$在线段 $\mathit{BC}$上相遇（不包含点 $C$），动点 $M$， $N$相遇后立即同时停止运动，记此时 $\mathit{\Delta APM}$与 $\mathit{\Delta DPN}$的面积分别为 $S_1\left(c{m}^2\right)$， $S_2\left(c{m}^2\right)$

①求动点 $N$运动速度 $v(\mathit{cm}/s)$的取值范围；

②试探究 $S_1·S_2$是否存在最大值，若存在，求出 $S_1·S_2$的最大值并确定运动时间 $x$的值；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 计算题   难度 中等

知识点： 矩形的性质 二次函数的应用