某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线
，在抛物线上任意画一个点
，度量点的坐标
，如图．
（Ⅰ）拖动点，发现当
时，
，试求抛物线
的方程；
（Ⅱ）设抛物线的顶点为
，焦点为
，构造直线
交抛物线于不同两点、
，构造直线
、
分别交准线于
、
两点，构造直线
、
．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有
.请你证明这一结论．
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点
”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．
如图，三棱锥
中，
底面
，
，
，
为
的中点，点
在
上，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） ．
附表及公式
中，角
所对边分别是
，
，
，且
．
（1）求
的值；
（2）若
，求面积的最大值．
选修4-5：不等式选讲。
已知函数
的解集为
．
（1）求
的值；
（2）若
，
成立，求实数
的取值范围．
选修4-4：极坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程为
（
为参数），以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．
（2）若直线的极坐标方程为
，求直线被曲线截得的弦长．