某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，-优题课

题文

某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线，在抛物线上任意画一个点，度量点的坐标，如图．

（Ⅰ）拖动点，发现当时，，试求抛物线的方程；
（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有.请你证明这一结论．
（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

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如图，在以点 $O$ 为圆心， $(A B) = 4$ 为直径的半圆 $A D B$ 中， $O D ⊥ A B$ ， $P$ 是半圆弧上一点， $∠ P O B = 30^{°}$ ，曲线 $C$ 是满足 $((M A) - (M B))$ 为定值的动点 $M$ 的轨迹，且曲线 $C$ 过点 $P$ .

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设过点 $D$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E, F$ .若 $△ O E F$ 的面积不小于 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 斜率的取值范围.

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 侧面 $A_{1} A B B_{1}$

$(I)$ 求证 $A B ⊥ C D$

$(I I)$ （若直线 $A C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为 $θ$ ，二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $φ$ ，试判断 $θ$ 与 $φ$ 的大小关系，并予以证明。

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 $n$ 号的有 $n$ 个（ $n$ =1,2,3,4）。现从袋中任取一球. $ξ$ 表示所取球的标号.
（Ⅰ）求 $ξ$ 的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若 $η = a ξ - b, E η = 1, D η = 11$ ，试求 $a, b$ 的值。

已知函数f(t)= $f (t) = \sqrt{\frac{1 - t}{1 + t}}$ , $g (x) = c o s x \cdot f (s i n x) + s i n x \cdot f (c o s x)$ , $x \in (π, \frac{17 π}{12})$ .

（Ⅰ）将函数 $g (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ) + B （ A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， φ \in [0 ， 2 π] ）$ 的形式；
（Ⅱ）求函数 $g (x)$ 的值域。

已知以 $a_{1}$ 为首项的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：
（1）当 $a_{1} ＝ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $d ＝ 3$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）当 $0 ＜ a_{1} ＜ 1$ ， $c ＝ 1$ ， $d ＝ 3$ 时，试用 $a_{1}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $100$ 项的和 $S_{100}$ ；
（3）当 $0 ＜ a_{1} ＜ m$ （ $m$ 是正整数）， $c ＝ 1$ ， $d \geq 3 m$ 时，求证：数列 $a_{2}$ ， $a_{3 m + 2}$ ， $a_{6 m + 2}$ ， $a_{9 m + 2}$ 成等比数列当且仅当 $d ＝ 3 m$ .

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