在□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，FCAE.四边形-优题课

如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 10$ ， $E$ 是 $CD$ 边上一点，连接 $AE$ ，将矩形 $ABCD$ 沿 $AE$ 折叠，顶点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上点 $F$ 处，延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$ ．

（1）求线段 $CE$ 的长；

（2）如图2， $M$ ， $N$ 分别是线段 $AG$ ， $DG$ 上的动点（与端点不重合），且 $∠ DMN = ∠ DAM$ ，设 $AM = x$ ， $DN = y$ ．

①写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出 $y$ 的最小值；

②是否存在这样的点 $M$ ，使 $ΔDMN$ 是等腰三角形？若存在，请求出 $x$ 的值；若不存在，请说明理由．

阅读下面的材料：

如果函数 $y = f (x)$ 满足：对于自变量 $x$ 的取值范围内的任意 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，

（1）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是增函数；

（2）若 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 是减函数．

例题：证明函数 $f (x) = \frac{6}{x} (x > 0)$ 是减函数．

证明：设 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{6}{x_{1}} - \frac{6}{x_{2}} = \frac{6 x_{2} - 6 x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{6 (x_{2} - x_{1})}{x_{1} x_{2}}$ ．

$∵ 0 < x_{1} < x_{2}$ ，

$∴ x_{2} - x_{1} > 0$ ， $x_{1} x_{2} > 0$ ．

$∴ \frac{6 (x_{2} - x_{1})}{x_{1} x_{2}} > 0$ ．即 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > 0$ ．

$∴ f (x_{1}) > f (x_{2})$ ．

$∴$ 函数 $f (x) = = \frac{6}{x} (x > 0)$ 是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x (x < 0)$ ，

$f (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + (- 1) = 0$ ， $f (- 2) = \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + (- 2) = - \frac{7}{4}$

（1）计算： $f (- 3) =$ 　 $- \frac{26}{9}$ 　， $f (- 4) =$ 　　；

（2）猜想：函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + x (x < 0)$ 是　　函数（填“增”或“减” $)$ ；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $D$ 是 $\hat{AC}$ 的中点， $E$ 为 $OD$ 延长线上一点，且 $∠ CAE = 2 ∠ C$ ， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $H$ ，与 $OE$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $AE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $DH = 9$ ， $\tan C = \frac{3}{4}$ ，求直径 $AB$ 的长．

小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离 $y (km)$ 与小王的行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系．

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段 $BC$ 所表示的 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图，点 $M$ 和点 $N$ 在 $∠ AOB$ 内部．

（1）请你作出点 $P$ ，使点 $P$ 到点 $M$ 和点 $N$ 的距离相等，且到 $∠ AOB$ 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由．