（乐山）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两-优题课

如图，在 $△ ABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上一点，且 $BD = BA$ ．

（ 1 ）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作 $∠ ABC$ 的角平分线交 $AD$ 于点 $E$ ；

②作线段 $DC$ 的垂直平分线交 $DC$ 于点 $F$ ．

（ 2 ）连接 $EF$ ，直接写出线段 $EF$ 和 $AC$ 的数量关系及位置关系．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 5 < x + 1 \\ 2 (2 x - 1) ⩾ 3 x - 4 \end{matrix}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来．

如图 ① ，直线 $l$ 经过点 $（ 4 ， 0 ）$ 且平行于 y 轴，二次函数 $y ＝ a x^{2} ﹣ 2 a x + c （ a 、 c 是常数， a ＜ 0 ）$ 的图象经过点 $M (﹣ 1 ， 1)$ ，交直线 $l$ 于点 N ，图象的顶点为 D ，它的对称轴与 x 轴交于点 C ，直线 DM 、 DN 分别与 x 轴相交于 A 、 B 两点．

（ 1 ）当 $a ＝ ﹣ 1$ 时，求点 N 的坐标及 $\frac{AC}{BC}$ 的值；

（ 2 ）随着 a 的变化， $\frac{AC}{BC}$ 的值是否发生变化？请说明理由；

（ 3 ）如图 ② ， E 是 x 轴上位于点 B 右侧的点， $B C ＝ 2 B E$ ， DE 交抛物线于点 F ．若 $F B ＝ F E$ ，求此时的二次函数表达式．

（算一算）

如图 ① ，点 A 、 B 、 C 在数轴上， B 为 AC 的中点，点 A 表示 $﹣ 3$ ，点 B 表示 1 ，则点 C 表示的数为　　， AC 长等于　　；

（找一找）

如图②，点 M 、 N 、 P 、 Q 中的一点是数轴的原点，点 A 、 B 分别表示实数 $\frac{\sqrt{2}}{2} ﹣ 1$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ ， Q 是 AB 的中点，则点　是这个数轴的原点；

（画一画）

如图 ③ ，点 A 、 B 分别表示实数 $c ﹣ n$ 、 $c + n$ ，在这个数轴上作出表示实数 n 的点 E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（用一用）

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测 a 个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有 m 个学生，每分钟又有 b 个学生到达校门口．如果开放 3 个通道，那么用 4 分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放 4 个通道，那么用 2 分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下， a 、 m 、 b 会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图 ④ ，他将 4 分钟内需要进校的人数 $m + 4 b$ 记作 $+ (m + 4 b)$ ，用点 A 表示；将 2 分钟内由 4 个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数 $8 a$ 记作 $﹣ 8 a$ ，用点 B 表示．

① 用圆规在小华画的数轴上分别画出表示 $+ （ m + 2 b ）$ 、 $﹣ 12 a$ 的点 F 、 G ，并写出 $+ (m + 2 b)$ 的实际意义；

② 写出 a 、 m 的数量关系：　　．

如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B O$ 交边 $A D$ 于点 $O$ ， $O D ＝ 4$ ，以点 $O$ 为圆心， $O D$ 长为半径作 $⊙ O$ ，分别交边 $D A$ 、 $D C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．点 $E$ 在边 $B C$ 上， $O E$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ， $G$ 为 $\overset{⏜}{MN}$ 的中点．

（ 1 ）求证：四边形 $A B E O$ 为菱形；

（ 2 ）已知 $\cos ∠ A B C ＝ \frac{1}{3}$ ，连接 $A E$ ，当 $A E$ 与 $⊙ O$ 相切时，求 $A B$ 的长．