（1）﹣8a2b2a38ab2；（2）（xy）22（xy）1-优题课

如图， $AB / / CD$ ， $ΔEFG$ 的顶点 $F$ ， $G$ 分别落在直线 $AB$ ， $CD$ 上， $GE$ 交 $AB$ 于点 $H$ ， $GE$ 平分 $∠ FGD$ ．若 $∠ EFG = 90 °$ ， $∠ E = 35 °$ ，求 $∠ EFB$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 上，且横坐标为1，点 $B$ 与点 $A$ 关于抛物线的对称轴对称，直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，点 $E$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

（1）求线段 $AB$ 的长；

（2）点 $P$ 为线段 $AB$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $H$ ，点 $F$ 为 $y$ 轴上一点，当 $ΔPBE$ 的面积最大时，求 $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 的最小值；

（3）在（2）中， $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 取得最小值时，将 $ΔCFH$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 后得到△ $CF' H'$ ，过点 $F^{'}$ 作 $CF'$ 的垂线与直线 $AB$ 交于点 $Q$ ，点 $R$ 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$ ，使以点 $D$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

对任意一个四位数 $n$ ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称 $n$ 为“极数”．

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数 $a$ 是另一个正整数 $b$ 的平方，则称正整数 $a$ 是完全平方数．若四位数 $m$ 为“极数”，记 $D (m) = \frac{m}{33}$ ，求满足 $D (m)$ 是完全平方数的所有 $m$ ．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $O$ 是对角线 $AC$ 的中点，点 $E$ 是 $BC$ 上一点，且 $AB = AE$ ，连接 $EO$ 并延长交 $AD$ 于点 $F$ ．过点 $B$ 作 $AE$ 的垂线，垂足为 $H$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ．

（1）若 $AH = 3$ ， $HE = 1$ ，求 $ΔABE$ 的面积；

（2）若 $∠ ACB = 45 °$ ，求证： $DF = \sqrt{2} CG$ ．

在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．

（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？

（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为 $1 : 2$ ，且里程数之比为 $2 : 1$ ．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加 $10 a % (a > 0)$ ，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加 $a %$ ， $5 a %$ ，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加 $5 a %$ ， $8 a %$ ，求 $a$ 的值．