已知关于x的方程a2x2（2a－1）x10有两个实数根x1，-优题课

已知关于x的方程a²x²+（2a－1）x+1=0有两个实数根x₁，x₂．（1）当a为何值时，x₁≠x₂；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
解：（1）根据题意，得△=（2a－1）²－4a²>0，解得a<．
∴当a<时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x₁，x₂互为相反数，则x₁+x₂=－=0①，
解得a=，经检验，a=是方程①的根．
∴当a=时，方程的两个实数根x₁与x₂互为相反数．
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的对称轴为直线 $x = \frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $∠ CAO$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $AB$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $AC$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t (t > 0)$ 秒，连接 $MN$ ，再将线段 $MN$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90 °$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $ΔMDB$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有"若勾三，股四，则弦五"的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅"弦图"（如图 $1)$ ，后人称之为"赵爽弦图"，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有　　个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，直角三角形面积为 $S_{3}$ ，请判断 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的"勾股树"．在如图9所示的"勾股树"的某部分图形中，设大正方形 $M$ 的边长为定值 $m$ ，四个小正方形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ α$ ，则当 $∠ α$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含 $m$ 的式子表示）

① $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} =$ 　　；

② $b$ 与 $c$ 的关系为　　， $a$ 与 $d$ 的关系为　　．

2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格 $p$ （元 $/$ 只）和销量 $q$ （只 $)$ 与第 $x$ 天的关系如下表：

第 $x$ 天	1	2	3	4	5
销售价格 $p$ （元 $/$ 只）	2	3	4	5	6
销量 $q$ （只 $)$	70	75	80	85	90

物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元 $/$ 只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元 $/$ 只．据统计，该药店从第6天起销量 $q$ （只 $)$ 与第 $x$ 天的关系为 $q = - 2 x^{2} + 80 x - 200$ $(6 ⩽ x ⩽ 30$ ，且 $x$ 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元 $/$ 只．

（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格 $p$ 与 $x$ 和销量 $q$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 $W$ （元 $)$ 与 $x$ 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；

（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以 $m$ 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则 $m$ 的取值范围为　　．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以斜边 $AB$ 上的中线 $CD$ 为直径作 $⊙ O$ ，与 $BC$ 交于点 $M$ ，与 $AB$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $MN ⊥ AB$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $MN$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为5， $\sin B = \frac{3}{5}$ ，求 $ED$ 的长．

如图，某楼房 $AB$ 顶部有一根天线 $BE$ ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 $C$ ， $D$ ， $A$ ，在点 $C$ 处测得天线顶端 $E$ 的仰角为 $60 °$ ，从点 $C$ 走到点 $D$ ，测得 $CD = 5$ 米，从点 $D$ 测得天线底端 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，已知 $A$ ， $B$ ， $E$ 在同一条垂直于地面的直线上， $AB = 25$ 米．

（1）求 $A$ 与 $C$ 之间的距离；

（2）求天线 $BE$ 的高度．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果保留整数）