设
、
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
（Ⅰ） 若椭圆C上的点
到、两点的距离之和等于4, 写出椭圆C的方程和离心率.;
（Ⅱ） 若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上除M、N外的任意一点, 当直线PM、PN的斜率都存在, 并记为
、
时, 求证: ·为定值.
已知椭圆
的离心率为
，长轴长为4，
为左顶点，过左焦点
的直线与椭圆交于
两点，直线
与
分别交于
两点，（两点不重合）．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当直线
与
轴垂直时，求证：
(3) 当直线的斜率为
时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．
某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是
元，销售价是
元，月平均销售1000件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术的含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为
，那么月平均销售量减少的百分率为
．设改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是
（元）．
（1）当销售价提高的百分率为0．1时，月利润是多少？
（2）写出与的函数关系式；
（3）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
已知函数
．
（1）求函数
的单调区间与极值；
（2）设
，且
，
恒成立，求
的取值范围．
抛物线顶点在原点，焦点在
轴上，且过点
，焦点为
；
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）
是抛物线上一动点，
是
的中点，求的轨迹方程．
已知函数
在
处有极大值8，求实数
的值．