某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数
.
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
现有
道题，其中
道甲类题，
道乙类题，张同学从中任取
道题解答．
（Ⅰ）求张同学至少取到
道乙类题的概率；
（Ⅱ）已知所取的道题中有2道甲类题，道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是
，答对每道乙类题的概率都是
，且各题答对与否相互独立．用
表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望
．
（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递增区间，并求出在
上的最大值与最小值．
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知椭圆
的中心为坐标原点，焦点在
轴上，离心率
，过椭圆右焦点且垂直于轴的一条直线交椭圆于
两点，
.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点
，设
是椭圆上的三点，满足
，点
为线段
的中点，求
的值.
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为
万元，每生产万件需要再投入
万元.设该公司一个月内生产该小型产品
万件并全部销售完，每万件的销售收入为
万元，且每万件国家给予补助
万元. （
为自然对数的底数，是一个常数.）
（Ⅰ）写出月利润
（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当月生产量在
万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知向量
，且
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）设
的内角
的对边分别为
，
，且
，求函数
的值域.