，其中-优题课

如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $OA = OC$ ， $OB = OD + CD$ ．

（1）过点 $A$ 作 $AE / / DC$ 交 $BD$ 于点 $E$ ，求证： $AE = BE$ ；

（2）如图2，将 $ΔABD$ 沿 $AB$ 翻折得到 $ΔAB D^{'}$ ．

①求证： $B D^{'} / / CD$ ；

②若 $A D^{'} / / BC$ ，求证： $C D^{2} = 2 OD \cdot BD$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $BC$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $DE ⊥ AC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $BC = 16$ ，求 $DE$ 的长．

今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．

（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？

（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A (1, 2)$ ， $B (n, - 1)$ 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上的点，若 $ΔACP$ 的面积是4，求点 $P$ 的坐标．

某中学全校学生参加了"交通法规"知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组： $A : 60 ⩽ x < 70$ ； $B : 70 ⩽ x < 80$ ； $C : 80 ⩽ x < 90$ ； $D : 90 ⩽ x ⩽ 100$ ，并绘制出如图不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在 $C : 80 ⩽ x < 90$ 组的有多少人？

（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？

（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在 $A : 60 ⩽ x < 70$ 组的学生有多少人？