如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且-优题课

如图，一次函数 $y = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象交于点 $A (- 1, 2)$ ， $B (m, - 1)$ ．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$ 轴上是否存在点 $P (n$ ， $0) (n > 0)$ ，使 $ΔABP$ 为等腰三角形？若存在，求 $n$ 的值；若不存在，说明理由．

如图，已知 $ΔABC$ ， $∠ B = 40 °$ ．

（1）在图中，用尺规作出 $ΔABC$ 的内切圆 $O$ ，并标出 $⊙ O$ 与边 $AB$ ， $BC$ ， $AC$ 的切点 $D$ ， $E$ ， $F$ （保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接 $EF$ ， $DF$ ，求 $∠ EFD$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(- 4, 0)$ ， $(4, 0)$ ， $C (m, 0)$ 是线段 $AB$ 上一点（与 $A$ ， $B$ 点不重合），抛物线 $L_{1} : y = a x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a < 0)$ 经过点 $A$ ， $C$ ，顶点为 $D$ ，抛物线 $L_{2} : y = a x^{2} + b_{2} x + c_{2} (a < 0)$ 经过点 $C$ ， $B$ ，顶点为 $E$ ， $AD$ ， $BE$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）若 $a = - \frac{1}{2}$ ， $m = - 1$ ，求抛物线 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 的解析式；

（2）若 $a = - 1$ ， $AF ⊥ BF$ ，求 $m$ 的值；

（3）是否存在这样的实数 $a (a < 0)$ ，无论 $m$ 取何值，直线 $AF$ 与 $BF$ 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 $a$ 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000 kg$ 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本 $=$ 放养总费用 $+$ 收购成本）．

（1）设每天的放养费用是 $a$ 万元，收购成本为 $b$ 万元，求 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）设这批淡水鱼放养 $t$ 天后的质量为 $m (kg)$ ，销售单价为 $y$ 元 $/ kg$ ．根据以往经验可知： $m$ 与 $t$ 的函数关系为 $m = \{\begin{matrix} 20000 (0 ⩽ t ⩽ 50) \\ 100 t + 15000 (50 < t ⩽ 100) \end{matrix}$ ； $y$ 与 $t$ 的函数关系如图所示．

①分别求出当 $0 ⩽ t ⩽ 50$ 和 $50 < t ⩽ 100$ 时， $y$ 与 $t$ 的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$ 天后一次性出售所得利润为 $W$ 元，求当 $t$ 为何值时， $W$ 最大？并求出最大值．（利润 $=$ 销售总额 $-$ 总成本）

已知正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ．

（1）如图1， $E$ ， $G$ 分别是 $OB$ ， $OC$ 上的点， $CE$ 与 $DG$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $DF ⊥ CE$ ，求证： $OE = OG$ ；

（2）如图2， $H$ 是 $BC$ 上的点，过点 $H$ 作 $EH ⊥ BC$ ，交线段 $OB$ 于点 $E$ ，连接 $DH$ 交 $CE$ 于点 $F$ ，交 $OC$ 于点 $G$ ．若 $OE = OG$ ，

①求证： $∠ ODG = ∠ OCE$ ；

②当 $AB = 1$ 时，求 $HC$ 的长．