将下列各数用＜连接起来：-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = x^{2} + \frac{1}{4}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，点 $B$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称

（1）填空：点 $B$ 的坐标是　　；

（2）过点 $B$ 的直线 $y = kx + b$ （其中 $k < 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，过点 $C$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴， $P$ 是直线 $l$ 上一点，且 $PB = PC$ ，求线段 $PB$ 的长（用含 $k$ 的式子表示），并判断点 $P$ 是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $C$ 关于直线 $BP$ 的对称点 $C'$ 恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 $P$ 的坐标．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $∠ DAB = ∠ ABD$ ， $BE ⊥ AD$ ，垂足为 $E$ ，求证： $BC = 2 AE$ ．

小明经探究发现，过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ，得到 $∠ AFB = ∠ BEA$ ，从而可证 $ΔABF ≅ ΔBAE$ （如图 $2)$ ，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $ΔABF$ 与 $ΔBAE$ 全等的条件是　　（填“ $SSS$ ”、“ $SAS$ ”、“ $ASA$ ”、“ $AAS$ ”或“ $HL$ ”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $DC$ 的中点，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ CDF = ∠ EAC$ ，若 $CF = 2$ ，求 $AB$ 的长；

（3）如图4， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $AB$ 、 $AC$ 边上，且 $AD = kDB$ （其中 $0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3})$ ， $∠ AED = ∠ BCD$ ，求 $\frac{AE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的式子表示）．

如图1， $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，线段 $DE$ 在射线 $BC$ 上，且 $DE = AC$ ，线段 $DE$ 沿射线 $BC$ 运动，开始时，点 $D$ 与点 $B$ 重合，点 $D$ 到达点 $C$ 时运动停止，过点 $D$ 作 $DF = DB$ ，与射线 $BA$ 相交于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $BC$ 的垂线，与射线 $BA$ 相交于点 $G$ ．设 $BD = x$ ，四边形 $DEGF$ 与 $ΔABC$ 重叠部分的面积为 $S$ ， $S$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示（其中 $0 < x ⩽ 1$ ， $1 < x ⩽ m$ ， $m < x ⩽ 3$ 时，函数的解析式不同）

（1）填空： $BC$ 的长是　　；

（2）求 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出 $x$ 的取值范围．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A = 2 ∠ BCD$ ，点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上， $∠ AED = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $DE$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）若 $BF = 2$ ， $DF = \sqrt{10}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，抛物线 $y = x^{2} - 3 x + \frac{5}{4}$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $D$ 是直线 $BC$ 下方抛物线上一点，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线，与直线 $BC$ 相交于点 $E$

（1）求直线 $BC$ 的解析式；

（2）当线段 $DE$ 的长度最大时，求点 $D$ 的坐标．