某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产-优题课

题文

某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t（百件）时，销售所得的收入为（）万元。
（1）该公司这种产品的年生产量为百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量的函数，求；
（2）当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大。

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同的点 $A, B$ 关于直线 $y = m x + \frac{1}{2}$ 对称．

（1）求实数 $m$ 的取值范围；
（2）求 $△ A O B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）．

已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ ，记 $M (a, b)$ 是 $|f (x)|$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值.
（1）证明：当 $|a| \geq 2$ 时， $M (a, b) \geq 2$ ；
（2）当 $a$ , $b$ 满足 $M (a, b) \leq 2$ ，求 $|a| + |b|$ 的最大值.

如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ -中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A_{1} A = 4$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

（1）证明： $A_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；
（2）求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b^{2} - a^{2} = \frac{1}{2} c^{2}$ .

（1）求 $\tan C$ 的值；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为 $7$ ，求 $b$ 的值.

已知函数 $f (x) = |x + 1| - 2 |x - a|, a > 0$ .
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 图像与 $x$ 轴围成的三角形面积大于6，求 $a$ 的取值范围.

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