如图P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；（2-优题课

为纪念“五四运动”100周年，某校举行了征文比赛，该校学生全部参加了比赛．比赛设置一等、二等、三等三个奖项，赛后该校对学生获奖情况做了抽样调查，并将所得数据绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查学生的人数为　　．

（2）补全两个统计图，并求出扇形统计图中 $A$ 所对应扇形圆心角的度数．

（3）若该校共有840名学生，请根据抽样调查结果估计获得三等奖的人数．

在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1， $ΔABC$ 的三个顶点都是网格线的交点，已知 $B$ ， $C$ 两点的坐标分别为 $(- 3, 0)$ ， $(- 1, - 1)$ ．

（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点 $A$ 的坐标．

（2）将 $ΔABC$ 绕着坐标原点顺时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后的△ $A' B^{'} C'$ ．

（3）接写出在上述旋转过程中，点 $A$ 所经过的路径长．

把函数 $C_{1} : y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 的图象绕点 $P (m, 0)$ 旋转 $180 °$ ，得到新函数 $C_{2}$ 的图象，我们称 $C_{2}$ 是 $C_{1}$ 关于点 $P$ 的相关函数． $C_{2}$ 的图象的对称轴与 $x$ 轴交点坐标为 $(t, 0)$ ．

（1）填空： $t$ 的值为　　（用含 $m$ 的代数式表示）

（2）若 $a = - 1$ ，当 $\frac{1}{2} ⩽ x ⩽ t$ 时，函数 $C_{1}$ 的最大值为 $y_{1}$ ，最小值为 $y_{2}$ ，且 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求 $C_{2}$ 的解析式；

（3）当 $m = 0$ 时， $C_{2}$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧）．与 $y$ 轴相交于点 $D$ ．把线段 $AD$ 原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到它的对应线段 $A' D'$ ，若线 $A' D'$ 与 $C_{2}$ 的图象有公共点，结合函数图象，求 $a$ 的取值范围．

阅读下面材料，完成（1） $-$ （3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 在 $BC$ 上， $AD = AB$ ， $AB = kBD$ （其中 $\frac{\sqrt{2}}{2} < k < 1) ∠ ABC = ∠ ACB + ∠ BAE$ ， $∠ EAC$ 的平分线与 $BC$ 相交于点 $F$ ， $BG ⊥ AF$ ，垂足为 $G$ ，探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $∠ BAE$ 与 $∠ DAC$ 相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $BG$ ，与 $AC$ 相交于点 $H$ （如图 $2)$ ，可以求出 $\frac{AH}{HC}$ 的值．”

（1）求证： $∠ BAE = ∠ DAC$ ；

（2）探究线段 $BG$ 与 $AC$ 的数量关系（用含 $k$ 的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{AH}{HC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．

如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．且 $∠ APC = ∠ BCP$

（1）求证： $∠ BAC = 2 ∠ ACD$ ；

（2）过图1中的点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，垂足为 $E$ （如图 $2)$ ，当 $BC = 6$ ， $AE = 2$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．