如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的-优题课

如图1，四边形 $ABCD$ 内接于 $⊙ O$ ， $AC$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 的切线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．且 $∠ APC = ∠ BCP$

（1）求证： $∠ BAC = 2 ∠ ACD$ ；

（2）过图1中的点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，垂足为 $E$ （如图 $2)$ ，当 $BC = 6$ ， $AE = 2$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：垂径定理圆周角定理圆内接四边形的性质全等三角形的判定与性质

如图1，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(4, 0)$ ， $(0, 6)$ ，直线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $\tan ∠ OAD = 2$ ，抛物线 $M_{1} : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过 $A$ ， $D$ 两点．

（1）求点 $D$ 的坐标和抛物线 $M_{1}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线 $M_{1}$ 对称轴上一动点，当 $∠ CPA = 90 °$ 时，求所有符合条件的点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E (0, 4)$ ，连接 $AE$ ，将抛物线 $M_{1}$ 的图象向下平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $M_{2}$ ．

①设点 $D$ 平移后的对应点为点 $D'$ ，当点 $D'$ 恰好在直线 $AE$ 上时，求 $m$ 的值；

②当 $1 ⩽ x ⩽ m (m > 1)$ 时，若抛物线 $M_{2}$ 与直线 $AE$ 有两个交点，求 $m$ 的取值范围．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $ΔABC$ 和 $ΔADE$ 中， $∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ， $∠ CAB = ∠ EAD = 60 °$ ，点 $E$ ， $A$ ， $C$ 在同一条直线上，连接 $BD$ ，点 $F$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EF$ ， $CF$ ，试判断 $ΔCEF$ 的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $ΔCEF$ 的两条边是否相等，如 $EF = CF$ ，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $EF$ 交 $CB$ 的延长线于点 $G$ ．

$∵ F$ 是 $BD$ 的中点，

$∴ BF = DF$ ．

$∵ ∠ ACB = ∠ AED = 90 °$ ，

$∴ ED / / CG$ ．

$∴ ∠ BGF = ∠ DEF$ ．

又 $∵ ∠ BFG = ∠ DFE$ ，

$∴ ΔBGF ≅ ΔDEF ($ 　 $AAS$ 　 $)$ ．

$∴ EF = FG$ ．

$∴ CF = EF = \frac{1}{2} EG$ ．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $SAS$ ， $ASA$ ， $AAS$ ， $SSS$ 中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $∠ CEF$ 的度数，并判断 $ΔCEF$ 的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $ΔADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转某个角度时，连接 $CE$ ，延长 $DE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $P$ ，其他条件不变，判断 $ΔCEF$ 的形状并给出证明．

如图1， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $OC = 3$ ， $A (2, 1)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过的 $B$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴交于 $M$ ， $N$ 两点，若点 $O$ 和点 $B$ 关于直线 $MN$ 成轴对称，求线段 $ON$ 的长；

（3）如图3，将线段 $OA$ 延长交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $D$ ，过 $B$ ， $D$ 的直线分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于 $E$ ， $F$ 两点，请探究线段 $ED$ 与 $BF$ 的数量关系，并说明理由．

中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：

本数（本 $)$	频数（人数）	频率
5	$a$	0.2
6	18	0.36
7	14	$b$
8	8	0.16
合计	$c$	1

（1）统计表中的 $a =$ 　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；

（4）若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数．

某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？