如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为一上两点，经过点-优题课

如图，在平面直角坐标系中，、为轴上两点，、为一上两点，经过点、、的抛物线的一部分与经过点、的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点的坐标为，点是抛物线的顶点．

（1）求、两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当为直角三角形时，求的值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 $x$ 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，取 $\hat{BF}$ 的中点 $D$ ，连接 $AD$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EH ⊥ AB$ 于 $H$ ．

（1）求证： $ΔHBE ∽ ΔABC$ ；

（2）若 $CF = 4$ ， $BF = 5$ ，求 $AC$ 和 $EH$ 的长．

为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“戒毒宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”等五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

（1）被随机抽取的学生共有多少名？

（2）在扇形统计图中，求活动数为3项的学生所对应的扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；

（3）该校共有学生2000人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

“五 $\cdot$ 一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头 $A$ 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 $C$ 在自己的北偏东 $45 °$ 方向，于是沿河边笔直的绿道 $l$ 步行200米到达 $B$ 处，这时定位显示小陈家 $C$ 在自己的北偏东 $30 °$ 方向，如图所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头 $D$ 处（精确到1米）（备用数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

有一张边长为 $a$ 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 $b$ 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式： $a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，

对于方案一，小明是这样验证的：

$a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：