解方程组：-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为点 $E$ ．弦 $BF$ 交 $CD$ 于点 $G$ ，点 $P$ 在 $CD$ 延长线上，且 $PF = PG$ ．

（1）求证： $PF$ 为 $⊙ O$ 切线；

（2）若 $OB = 10$ ， $BF = 16$ ， $BE = 8$ ，求 $PF$ 的长．

在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点 $B$ 处安置测倾器，于点 $A$ 处测得路灯 $MN$ 顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿 $BN$ 方向前进10米，到达点 $D$ 处，于点 $C$ 处测得路灯 $PQ$ 顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51)$

六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了 $20 %$ ，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

（1）求第一次每件的进价为多少元？

（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？

某校为提高学生的综合素养，准备开展摄影、书法、绘画、表演、手工五类社团活动．为了对此项活动进行统筹安排，随机抽取了部分学生进行调查，要求每人从五个类别中只选择一个，将调查结果绘制成了两幅统计图（未完成）．请根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）扇形统计图中，"摄影"所占的百分比为　　；"手工"所对应的圆心角的度数为　　．

（4）若该校共有2700名学生，请估计选择"绘画"的学生人数．

先化简 $(\frac{a^{2} - 1}{a - 3} - a - 1) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 6 a + 9}$ ，然后从 $- 1$ ，0，1，3中选一个合适的数作为 $a$ 的值代入求值．