如图，为的直径，为弦，且，垂足为．（1）如果的半径为4，1，-优题课

如图，为的直径，为弦，且，垂足为．

（1）如果的半径为4，1，求的度数；
（2）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理解直角三角形

如图， $BD$ 为 $ΔABC$ 外接圆 $⊙ O$ 的直径，且 $∠ BAE = ∠ C$ ．

（1）求证： $AE$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

（2）若 $AE / / BC$ ， $BC = 2 \sqrt{7}$ ， $AC = 2 \sqrt{2}$ ，求 $AD$ 的长．

为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区 $n$ 户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求 $n$ 并补全条形统计图；

（2）求这 $n$ 户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；

（3）从月用水量为 $5 m^{3}$ 和 $9 m^{3}$ 的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为 $5 m^{3}$ 和 $9 m^{3}$ 恰好各有一户家庭的概率．

如图，点 $M$ 是正方形 $ABCD$ 边 $CD$ 上一点，连接 $AM$ ，作 $DE ⊥ AM$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AM$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）已知 $AF = 2$ ，四边形 $ABED$ 的面积为24，求 $∠ EBF$ 的正弦值．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 4)$ ，线段 $BC$ 的中垂线与对称轴 $l$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $F$ ，与 $BC$ 交于点 $E$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点 $D$ 的坐标；

（3）点 $P$ 为 $x$ 轴上一点， $⊙ P$ 与直线 $BC$ 相切于点 $Q$ ，与直线 $DE$ 相切于点 $R$ ．求点 $P$ 的坐标；

（4）点 $M$ 为 $x$ 轴上方抛物线上的点，在对称轴 $l$ 上是否存在一点 $N$ ，使得以点 $D$ ， $P$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 $N$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在四边形 $BCDE$ 中， $BC ⊥ CD$ ， $DE ⊥ CD$ ， $AB ⊥ AE$ ，垂足分别为 $C$ ， $D$ ， $A$ ， $BC \neq AC$ ，点 $M$ ， $N$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $AE$ ， $BE$ 的中点，连接 $MN$ ， $MF$ ， $NF$ ．

（1）如图2，当 $BC = 4$ ， $DE = 5$ ， $\tan ∠ FMN = 1$ 时，求 $\frac{AC}{AD}$ 的值；

（2）若 $\tan ∠ FMN = \frac{1}{2}$ ， $BC = 4$ ，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

（3）连接 $CM$ ， $DN$ ， $CF$ ， $DF$ ．试证明 $ΔFMC$ 与 $ΔDNF$ 全等；

（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．