先化简，再求值：，其中，x满足且x为整数.-优题课

在创建“文明校园”活动中，某校有2名男生和3名女生被评为学校“文明学生”．现要从这5名学生中选拔“学校文明礼仪值周岗”的值周生．

（1）从这5名学生中随机选拔1人值周，恰好选到男生的概率是　　．

（2）从这5名学生中随机选拔2人值周，请用树状图或列表法求出恰好选到1个男生和1个女生的概率．

如图， $ΔABC$ 与 $ΔCDE$ 是等边三角形，连接 $AD$ ，取 $AD$ 的中点 $P$ ，连接 $BP$ 并延长至点 $M$ ，使 $PM = BP$ ，连接 $AM$ ， $EM$ ， $AE$ ，将 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$ 在 $BC$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上时，则 $ΔAEM$ 的形状为　　；

（2）将 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转至图2的位置，请判断 $ΔAEM$ 的形状，并说明理由；

（3）若 $CD = \frac{1}{2} BC$ ，将 $ΔCDE$ 由图1位置绕点 $C$ 顺时针旋转 $α (0 ° ⩽ α < 360 °)$ ，当 $ME = \sqrt{3} CD$ 时，请直接写出 $α$ 的值．

铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$ （千克）与每千克降价 $x$ （元 $) (0 < x < 20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？

如图，四边形 $ABCD$ 中，连接 $AC$ ， $AC = AD$ ，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 过点 $B$ ，交 $CD$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $EF ⊥ AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $∠ BAC = ∠ DAC = 30 °$ ， $BC = 2$ ，求 $\hat{BCE}$ 的长．（结果保留 $π)$

如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚 $E$ 处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶 $C$ 处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点 $P$ 处，也可以通过滑行索道到达景点 $Q$ 处，在山顶 $C$ 处观测坡底 $A$ 的俯角为 $75 °$ ，观测 $Q$ 处的俯角为 $30 °$ ，已知右侧小山的坡角为 $30 °$ （图中的点 $C$ ， $E$ ， $A$ ， $B$ ， $P$ ， $Q$ 均在同一平面内，点 $A$ ， $Q$ ， $P$ 在同一直线上）

（1）求 $∠ CAP$ 的度数及 $CP$ 的长度；

（2）求 $P$ ， $Q$ 两点之间的距离．（结果保留根号）