已知函数
，
．
（1）设
是函数
的一个零点，求
的值；
（2）求函数
的单调递增区间．
如图，在正四棱锥
中，
．
（1）求该正四棱锥的体积
；
（2）设
为侧棱
的中点，求异面直线
与
所成角
的大小．
设点
是抛物线
的焦点，
是抛物线
上的
个不同的点（
）.
（1） 当
时，试写出抛物线
上的三个定点
、
、
的坐标，从而使得
；
（2）当
时，若
，
求证：
；
（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：
“若，则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
已知数列
是首项为
的等比数列，且满足
.
（1）求常数
的值和数列的通项公式；
（2）若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第
项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列
，试写出数列的通项公式；
（3） 在（2）的条件下，设数列的前
项和为
.是否存在正整数，使得
？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.
已知
中，
，
.设
，记
.
（1）求
的解析式及定义域；
（2）设
，是否存在实数
，使函数
的值域为
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
的前
项和为
，若
，且
求数列