某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书-优题课

某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？

科目数学题型解答题难度中等

已知：在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $E$ ，且 $AC ⊥ BD$ ，作 $BF ⊥ CD$ ，垂足为点 $F$ ， $BF$ 与 $AC$ 交于点 $G$ ， $∠ BGE = ∠ ADE$ ．

（1）如图1，求证： $AD = CD$ ；

（2）如图2， $BH$ 是 $ΔABE$ 的中线，若 $AE = 2 DE$ ， $DE = EG$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 $ΔADE$ 面积的2倍．

为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）通过计算补全条形统计图；

（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？

综合与探究

如图1所示，直线 $y = x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式

（2）点 $E$ 在抛物线的对称轴上，求 $CE + OE$ 的最小值；

（3）如图2所示， $M$ 是线段 $OA$ 的上一个动点，过点 $M$ 垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $AC$ 和抛物线分别交于点 $P$ 、 $N$ ．

①若以 $C$ ， $P$ ， $N$ 为顶点的三角形与 $ΔAPM$ 相似，则 $ΔCPN$ 的面积为　　；

②若点 $P$ 恰好是线段 $MN$ 的中点，点 $F$ 是直线 $AC$ 上一个动点，在坐标平面内是否存在点 $D$ ，使以点 $D$ ， $F$ ， $P$ ， $M$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

注：二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(- \frac{b}{2 a}$ ， $\frac{4 ac - b^{2}}{4 a})$

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 翻折，使点 $B'$ 落在矩形 $ABCD$ 所在平面内， $B^{'} C$ 和 $AD$ 相交于点 $E$ ，连接 $B' D$ ．

解决问题

（1）在图1中，

① $B' D$ 和 $AC$ 的位置关系为　　；

②将 $ΔAEC$ 剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(AB \neq BC)$ ，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $∠ B = 30 °$ ， $AB = 4 \sqrt{3}$ ，当△ $AB' D$ 恰好为直角三角形时， $BC$ 的长度为　　．

某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 $20 \min$ 后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的 $\frac{10}{7}$ 继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 $6 km$ 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程 $S$ （单位： $km)$ 和行驶时间 $t$ （单位： $\min)$ 之间的函数关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

（1）学校到景点的路程为　　 $km$ ，大客车途中停留了　　 $\min$ ， $a =$ 　　；

（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 $80 km / h$ ，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待　　分钟，大客车才能到达景点入口．