某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书-优题课

现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为"神舟首飞"，第三张卡片的正面图案为"保卫和平"，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是"保卫和平"的概率．（图案为"神舟首飞"的两张卡片分别记为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，图案为"保卫和平"的卡片记为 $B)$

先化简，再求值： ${(a - 3)}^{2} + 2 (3 a - 1)$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

如图，已知点 $A (1, 2)$ 、 $B (5$ ， $n) (n > 0)$ ，点 $P$ 为线段 $AB$ 上的一个动点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $P$ ．小明说："点 $P$ 从点 $A$ 运动至点 $B$ 的过程中， $k$ 值逐渐增大，当点 $P$ 在点 $A$ 位置时 $k$ 值最小，在点 $B$ 位置时 $k$ 值最大．"

（1）当 $n = 1$ 时．

①求线段 $AB$ 所在直线的函数表达式．

②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的 $k$ 的最小值和最大值．

（2）若小明的说法完全正确，求 $n$ 的取值范围．

如图1，已知点 $O$ 在四边形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上，且 $OA = OB = OC = OD = 2$ ， $OC$ 平分 $∠ BOD$ ，与 $BD$ 交于点 $G$ ， $AC$ 分别与 $BD$ 、 $OD$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $OC / / AD$ ；

（2）如图2，若 $DE = DF$ ，求 $\frac{AE}{AF}$ 的值；

（3）当四边形 $ABCD$ 的周长取最大值时，求 $\frac{DE}{DF}$ 的值．

阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $3 x - y = 5$ ①， $2 x + 3 y = 7$ ②，求 $x - 4 y$ 和 $7 x + 5 y$ 的值．

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 $x$ 、 $y$ 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由① $-$ ②可得 $x - 4 y = - 2$ ，由① $+$ ② $\times 2$ 可得 $7 x + 5 y = 19$ ．这样的解题思想就是通常所说的"整体思想"．

解决问题：

（1）已知二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + y = 7, \\ x + 2 y = 8, \end{matrix}$ 则 $x - y =$ 　 $- 1$ 　， $x + y =$ 　　；

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数 $x$ 、 $y$ ，定义新运算： $x * y = ax + by + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知 $3 * 5 = 15$ ， $4 * 7 = 28$ ，那么 $1 * 1 =$ 　　．