已知矩形和点，当点在图中的位置时，求证：证明：过点作交、于、-优题课

已知正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ．

（1）如图1， $E$ ， $G$ 分别是 $OB$ ， $OC$ 上的点， $CE$ 与 $DG$ 的延长线相交于点 $F$ ．若 $DF ⊥ CE$ ，求证： $OE = OG$ ；

（2）如图2， $H$ 是 $BC$ 上的点，过点 $H$ 作 $EH ⊥ BC$ ，交线段 $OB$ 于点 $E$ ，连接 $DH$ 交 $CE$ 于点 $F$ ，交 $OC$ 于点 $G$ ．若 $OE = OG$ ，

①求证： $∠ ODG = ∠ OCE$ ；

②当 $AB = 1$ 时，求 $HC$ 的长．

如图， $O$ 为 $Rt Δ ABC$ 的直角边 $AC$ 上一点，以 $OC$ 为半径的 $⊙ O$ 与斜边 $AB$ 相切于点 $D$ ，交 $OA$ 于点 $E$ ．已知 $BC = \sqrt{3}$ ， $AC = 3$ ．

（1）求 $AD$ 的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

为积极创建全国文明城市，某市对某路口的行人交通违章情况进行了20天的调查，将所得数据绘制成如下统计图（图2不完整） $:$

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）第7天，这一路口的行人交通违章次数是多少次？这20天中，行人交通违章6次的有多少天？

（2）请把图2中的频数直方图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）

（3）通过宣传教育后，行人的交通违章次数明显减少．经对这一路口的再次调查发现，平均每天的行人交通违章次数比第一次调查时减少了4次，求通过宣传教育后，这一路口平均每天还出现多少次行人的交通违章？

对于任意实数 $a$ ， $b$ ，定义关于“ $\otimes$ ”的一种运算如下： $a \otimes b = 2 a - b$ ．例如： $5 \otimes 2 = 2 \times 5 - 2 = 8$ ， $(- 3) \otimes 4 = 2 \times (- 3) - 4 = - 10$ ．

（1）若 $3 \otimes x = - 2011$ ，求 $x$ 的值；

（2）若 $x \otimes 3 < 5$ ，求 $x$ 的取值范围．

如图，已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $C$ 在劣弧 $AB$ 上（不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $D$ 为弦 $BC$ 的中点， $DE ⊥ BC$ ， $DE$ 与 $AC$ 的延长线交于点 $E$ ，射线 $AO$ 与射线 $EB$ 交于点 $F$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $G$ ，设 $∠ GAB = α$ ， $∠ ACB = β$ ， $∠ EAG + ∠ EBA = γ$ ，

（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：

$α$	$30 °$	$40 °$	$50 °$	$60 °$
$β$	$120 °$	$130 °$	$140 °$	$150 °$
$γ$	$150 °$	$140 °$	$130 °$	$120 °$

猜想： $β$ 关于 $α$ 的函数表达式， $γ$ 关于 $α$ 的函数表达式，并给出证明；

（2）若 $γ = 135 °$ ， $CD = 3$ ， $ΔABE$ 的面积为 $ΔABC$ 的面积的4倍，求 $⊙ O$ 半径的长．