李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、-优题课

题文

李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线（如图），路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.

（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

科目数学题型解答题难度较易

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如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点是 $F (1, 0)$ ， $O$ 为坐标原点。
　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，若直线 $l$ 绕点 $F$ 任意转动，值有 $| O A |^{2} + | O B |^{2} < | A B |^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围。

某项考试按科目 $A$ 、科目 $B$ 依次进行，只有当科目 $A$ 成绩合格时，才可继续参加科目 $B$ 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，科目 $B$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2$ 。
　　（Ⅰ）设 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 3$ ，若点 $(n \in N^{*})$ 在函数 $y = f^{`} (x)$ 的图象上，求证：点 $(n, S_{n})$ 也在 $y = f^{`} (x)$ 的图象上；
　　（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $(a - 1, a)$ 内的极值。

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，则面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D, A B ⊥ A D, A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 中点.

（Ⅰ）求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $P D$ 与 $C D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）线段 $A D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得它到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{A Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

已知向量 $m = (\sin A, \cos A)$ ， $n = (\sqrt{3}, - 1)$ ， $m \cdot n = 1$ ，且 $A$ 为锐角。
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）求函数 $f (x) = = \cos 2 x + 4 \cos A \sin x (x \in R)$ 的值域。

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