双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程．-优题课

已知为平行四边形，，，，是长方形，是的中点，平面平面，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所
　　　成角的正切值．

已知数列是首项为1公差为正的等差数列，数列是首项为1的等比数列，设，且数列的前三项依次为1，4，12，
（1）求数列、的通项公式；
（2）若等差数列的前n项和为S_n,求数列的前项的和T_n．

在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，
（1）求A的最大值;（2）当角A最大时，求a.

如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $P$ 为直线 $l : x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜线分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$ ；
（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $O A, O B, O C, O D$ 的斜率 $k_{O A}, k_{O B}, k_{O C}, k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $M A ⊥ 平面 A B C D$ ， $P D / / M A$ ， $E$ 、 $G$ 、 $F$ 分别为 $M B$ 、 $P B$ 、 $P C$ 的中点，且 $A D = P D = 2 M A$ .

（I）求证： $平面 E F G ⊥ 平面 P D C$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $P - M A B$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比。