如图，已知椭圆x2a2y2b21(a<b<0)过点(1,22-优题课

题文

如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $P$ 为直线 $l : x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜线分别为 $k_{1}, k_{2}$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_{1}} - \frac{3}{k_{2}} = 2$ ；
（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $O A, O B, O C, O D$ 的斜率 $k_{O A}, k_{O B}, k_{O C}, k_{O D}$ 满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

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