如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ .点 $P$ 为直线 $l:x+y=2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线 $P{F}_1$ 、 $P{F}_2$ 的斜线分别为 $k_1,k_2$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$ ；
（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $OA,OB,OC,OD$ 的斜率 $k_{OA},k_{OB},k_{OC},k_{OD}$ 满足 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等