已知函数.
(Ⅰ)若在
上的最大值为
,求实数
的值;
(Ⅱ)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设,对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?请说明理由.
已知函数.
(I)求的单调区间;
(II) 若在
处取得极值,直线
与
的图象有三个不同的交点,求
的取值范围。
已知数列中,
(
为常数);
是
的前
项和,且
是
与
的等差中项。
(I)求;
(II)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明。
某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格
(元/吨)之间的关系式为:
,且生产
吨的成本为
(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)
已知函数,且
.
(I)求函数的解析式;
(II)求函数的单调区间和极值.
(本小题满分12分)
已知点列、
、…、
(n∈N)顺次为一次函数
图像上的点,点列
、
、…、
(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中
(0<a<1),对于任意n∈N,点
、
、
构成一个顶角的顶点为
的等腰三角形。
(1)数列的通项公式,并证明
是等差数列;
(2)证明为常数,并求出数列
的通项公式;
(3)上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。