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题文

已知函数
(Ⅰ)若上的最大值为,求实数的值;
(Ⅱ)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设,对任意给定的正实数,曲线 上是否存在两点,使得是以为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?请说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 困难
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已知函数.
(I)求的单调区间;
(II) 若处取得极值,直线的图象有三个不同的交点,求的取值范围。

已知数列中,为常数);的前项和,且的等差中项。
(I)求
(II)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明。

某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产吨的成本为(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)

已知函数,且.
(I)求函数的解析式;
(II)求函数的单调区间和极值.

(本小题满分12分)
已知点列、…、(n∈N)顺次为一次函数图像上的点,点列、…、(n∈N)顺次为x轴正半轴上的点,其中(0<a<1),对于任意n∈N,点构成一个顶角的顶点为的等腰三角形。

(1)数列的通项公式,并证明是等差数列;
(2)证明为常数,并求出数列的通项公式;
(3)上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a值;若不存在,请说明理由。

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