如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点F，OF3，CD8，-优题课

已知函数 $y = \{\begin{matrix} - x^{2} + nx + n, (x ⩾ n), \\ - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{n}{2} x + \frac{n}{2}, (x < n) \end{matrix} (n$ 为常数）

（1）当 $n = 5$ ，

①点 $P (4, b)$ 在此函数图象上，求 $b$ 的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段 $AB$ 的两个端点坐标分别为 $A (2, 2)$ 、 $B (4, 2)$ ，当此函数的图象与线段 $AB$ 只有一个交点时，直接写出 $n$ 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到 $x$ 轴的距离等于4，求 $n$ 的取值范围．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 20$ ， $BC = 15$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $AC$ 向终点 $C$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $CB$ 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点 $P$ 到达终点时， $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，过点 $P$ 作 $PN ⊥ AB$ 于点 $N$ ，连结 $PQ$ ，以 $PN$ 、 $PQ$ 为邻边作 $▱ PQMN$ ．设 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）① $AB$ 的长为　　；

② $PN$ 的长用含 $t$ 的代数式表示为　　．

（2）当 $▱ PQMN$ 为矩形时，求 $t$ 的值；

（3）当 $▱ PQMN$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形为四边形时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（4）当过点 $P$ 且平行于 $BC$ 的直线经过 $▱ PQMN$ 一边中点时，直接写出 $t$ 的值．

教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2 如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $BC$ ， $AB$ 的中点， $AD$ ， $CE$ 相交于点 $G$ ，求证： $\frac{GE}{CE} = \frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$

证明：连结 $ED$ ．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

结论应用：在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 、 $BD$ 交于点 $O$ ， $E$ 为边 $BC$ 的中点， $AE$ 、 $BD$ 交于点 $F$ ．

（1）如图②，若 $▱ ABCD$ 为正方形，且 $AB = 6$ ，则 $OF$ 的长为　　．

（2）如图③，连结 $DE$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，若四边形 $OFEG$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，则 $▱ ABCD$ 的面积为　　．

已知 $A$ 、 $B$ 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米 $/$ 时的速度沿此公路从 $A$ 地匀速开往 $B$ 地，乙车从 $B$ 地沿此公路匀速开往 $A$ 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 $y$ （千米）与甲车的行驶时间 $x$ （时 $)$ 之间的函数关系如图所示．

（1）乙车的速度为　　千米 $/$ 时， $a =$ 　　， $b =$ 　　．

（2）求甲、乙两车相遇后 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）当甲车到达距 $B$ 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图①中以线段 $AB$ 为边画一个 $ΔABM$ ，使其面积为6．

（2）在图②中以线段 $CD$ 为边画一个 $ΔCDN$ ，使其面积为6．

（3）在图③中以线段 $EF$ 为边画一个四边形 $EFGH$ ，使其面积为9，且 $∠ EFG = 90 °$ ．