阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一-优题课

题文

阅读理解：

我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 $\frac{1}{\sin α}$ 的值叫做这个平行四边形的变形度．

（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则这个平行四边形的变形度是　　．

猜想证明：

（2）设矩形的面积为S₁，其变形后的平行四边形面积为S₂，试猜想S₁，S₂， $\frac{1}{\sin α}$ 之间的数量关系，并说明理由；

拓展探究：

（3）如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且 $A B^{2} ＝ AE • AD$ ，这个矩形发生变形后为平行四边形A₁B₁C₁D₁，E₁为E的对应点，连接B₁E₁，B₁D₁，若矩形ABCD的面积为 $4 \sqrt{π} (m > 0)$ ，平行四边形A₁B₁C₁D₁的面积为 $2 \sqrt{π} (m > 0)$ ，试求∠A₁E₁B₁+∠A₁D₁B₁的度数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质解直角三角形矩形的性质

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $B (3, 0)$ ，经过点 $A$ 的直线 $AC$ 与抛物线的另一交点为 $C (4, \frac{5}{2})$ ，与 $y$ 轴交点为 $D$ ，点 $P$ 是直线 $AC$ 下方的抛物线上的一个动点（不与点 $A$ ， $C$ 重合）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ ，垂足为点 $E$ ，作 $PF / / y$ 轴交直线 $AC$ 于点 $F$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段 $EF$ 的长度为 $m$ ，求 $m$ 与 $t$ 的函数关系式．

（3）点 $Q$ 在抛物线的对称轴上运动，当 $ΔOPQ$ 是以 $OP$ 为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点 $P$ 的坐标．

$ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ ABC = α$ ，过点 $A$ 作直线 $MN$ ，使 $MN / / BC$ ，点 $D$ 在直线 $MN$ 上，作射线 $BD$ ，将射线 $BD$ 绕点 $B$ 顺时针旋转角 $α$ 后交直线 $AC$ 于点 $E$ ．

（1）如图①，当 $α = 60 °$ ，且点 $D$ 在射线 $AN$ 上时，直接写出线段 $AB$ ， $AD$ ， $AE$ 的数量关系．

（2）如图②，当 $α = 45 °$ ，且点 $D$ 在射线 $AN$ 上时，直写出线段 $AB$ 、 $AD$ 、 $AE$ 的数量关系，并说明理由．

（3）当 $α = 30 °$ 时，若点 $D$ 在射线 $AM$ 上， $∠ ABE = 15 °$ ， $AD = \sqrt{3} - 1$ ，请直接写出线段 $AE$ 的长度．

如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形 $ABCD$ ，其中 $AD / / BC$ ， $AB ⊥ BC$ ， $CD = 15 mm$ ， $∠ C = 53 °$ ，刀鞘的边缘 $MN / / PQ$ ，刀刃 $BC$ 与刀鞘边缘 $PQ$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 恰好落在刀鞘另一边缘 $MN$ 上时， $∠ COP = 37 °$ ， $OC = 50 mm$ ，

（1）求刀片宽度 $h$ ．

（2）若刀鞘宽度为 $14 mm$ ，求刀刃 $BC$ 的长度．（结果精确到 $0.1 mm)$ （参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4})$

近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数 $y$ （辆 $)$ 与每辆车每天的租金 $x$ （元 $)$ 满足关系式 $y = - \frac{1}{50} x + 36 (500 ⩽ x ⩽ 1800$ ，且 $x$ 为50的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为 $w$ 元．

（1）求 $w$ 与 $x$ 的函数关系式．（利润 $=$ 租金 $-$ 支出）

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（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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